?

Log in

No account? Create an account
 
 
10 Сентябрь 2011 @ 02:25
Мехмат, день 6  
Ранее говорил, что буду дальше писать только о самых клёвых находках.. но так случилось, что она наступила сразу же на следующий день :о)) Мне кажется на матане - на каждом занятии будут такие клёвые штуки))

Вопщем мы проходили отрезки, интервалы, открытые и закрытые множества и прочее :о) И вот что обнаружили!

А обнаружили мы - Канторово множество. И вот в чём штука:

Нам дан отрезок:


Суть такова - берём отрещок от 0 до 1. Потом Убираем из него середину (вторую треть), т.е. интервал от 1/3 до 2/3, т.е. сокращаем отрезок на треть. В каждом из оставшихся полу-отрезков/интервалов - делаем то же самое, и так до бесконечности.

В итоге мы, казалос бы, убираем из отрезка всё, кроме, разве что, двух точек - ноля и единицы.
В пользу того, что мы всё запихнули в эти интервалы говорит и сумма отрезков. Сначала мы вырезали из 1/3, потом 2/9 (2 раза по 1/9), потом 4/27 (3 раза по 1/27) и т.п. Воспользовавшись суммой геометрической прогрессии получаем:
1/3 + 2/9 + 4/27 + ... = (1/3)/(1-2/3). Нетрудно посчитать, что сумма равна 1. Т.е. мы вырезали из отрезка всё. Так ли это?

Ан-нет, это не так :о) Путём кодирования каждого интервала в троичном виде (0, 1, 2) получается, что мы каждый раз убираем только "1". Соответственно у нас остается куча цифер, каждую из которой можно прокодировать как набор 0 и 2 (т.е. без единиц).

И таких чисел у нас бесконечно много! Более того - континуально бесконечно много! И это при том, что интервалов у нас меньше - всего лишь счётно бесконечно много :о) Про интервалы - говорил в отчете про 2 день.

В итоге имеем - отрезок от 0 до 1, где вырезали интервалами чисел на сумму 1 (как длина интервала), но количество точек, не вошедших в интервалы - осталось даже больше, чем интервалов, которые мы понаставили! Чудеса! :о)

При этом полученное множество точек (Канторово множество) - дискретно в каждой точки, т.е. не непрерывно, т.е. ни одна пара точек не образует интервала :о)

Очень понравилась эта штука) Очень красиво))
 
 
 
Волченокvolchenok on Сентябрь, 9, 2011 23:13 (UTC)
В 2D и 3D эта задача тоже прикольный результат дает.
Но еще веселее - искать периметр множества Мандельброта :)
Соколов Игорьrakudajin on Сентябрь, 10, 2011 00:12 (UTC)
Слышал про такой, да)) Но ещё не дорос))) Комплексные числа - гдет через пол года :о)

Edited at 2011-09-10 00:13 (UTC)